Questão 2

UNICAMP 2010

Matemática

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 2)

Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaixo. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem volume $V_cal =frac {pi h^2}{3} (3R -h)$ , em que $h$ é a altura da calota e $R$ é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por $A_cal = 2pi Rh$ .

Atenção: não use um valor aproximado para $pi$ .

a) Supondo que $h = R/2$ , determine o volume do anel de madeira, em função de $R$ .

b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que $h = R/2$ , determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.

Gabarito:

Resolução:

Equacionamos que:

$H = 2R - h - h$

$oxed {H = R}$

No triângulo ABO temos, por Pitágoras:

$r^{2} + (frac{R}{2})^{2} = R^{2}$

$r^{2} = R^{2} = frac{R^{2}}{4} Rightarrow r = frac{Rsqrt{3}}{2}$

a) Calculando o volume da calota:

$V_{calota} = frac{pi h^{2}}{3} cdot (3R - h)$

$V_{calota} = frac{pi (frac{R}{2})^{2}}{3} cdot (3R - frac{R}{2}) = frac{5pi R^{3}}{24}$

Calculando o volume do cilindro:

$V_{cilindro} = pi r^{2} H = pi (frac{Rsqrt{3}}{2})^{2} cdot R$

$V_{cilindro} = frac{3pi R^{3}}{4}$

Logo:

$V_{anel} = V_{esfera} - 2 V_{calota} - V_{cilindro}$

$V_{anel} = frac{4}{3} pi R^{3} - 2 cdot frac{5pi R^{3}}{24} - frac{3pi R^{3}}{4} = frac{pi R^{3}}{6}$

b) Calculando a área da calota:

$A_{calota} = 2pi R h = 2pi R cdot frac{R}{2} = pi R^{2}$

$A_{lateral do cilindro} = 2pi r H = 2pi frac{Rsqrt{3}}{2} cdot R = pi R^{2} sqrt{3}$

Assim, sendo A a área sobre a qual o verniz será aplicado, temos:

$A = A_{esfera} - 2A_{calota} + A_{lateral do cilindro}$

$A = 4 pi R^{2} - 2pi R^{2} + pi R^{2}sqrt{3} = pi R^{2}(2+sqrt{3})$

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