Questão 8

UNICAMP 2010

Matemática

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 8)

O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura abaixo mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.

a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio.

b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.

Gabarito:

Resolução:

a) Chamando de E o ponto de intersecção entre AC e BD.

Podemos observar, na figura, que BC = CD e que o triângulo BCD é isósceles.

Como CE é altura do triângulo BCE, temos que:

$Bhat{C}E = Ehat{C}D = 30 ^{circ}$

Então:

$Bhat{C}D = 60^{circ}$ , o que significa que BCD é equilátero.

Portanto, BC = BD = CD = 50.

Logo, a área do triângulo BCD vale $frac{50^{2}sqrt{3}}{4} = 625 sqrt{3} cm^{2}$

O triângulo ADE é retângulo em E e $Dhat{A}E = 45^{circ}$

Assim:

$Ahat{D}E = 45^{circ}$ , o que faz do triângulo ADE isósceles retângulo.

$AE = DE = EB = 25$

A área do triângulo ABD é igual a:

$frac{50 cdot 25}{2} = 625 cm^{2}$

Logo a área do quadrilátero ABCD vale:

$625sqrt{3} + 625 = 625(sqrt{3}+1) cm^{2}$

b) O comprimento da vareta de bambu que liga BD vale 1/4 da circunferência de raio $AD = DO = AE sqrt{2} = 25 sqrt{2}$ , visto que o ângulo BOD vale 90º.

Assim, o comprimento vale:

$frac{1}{4} 2pi cdot 25sqrt{2} = frac{25pi sqrt{2}}{2} cm$

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