Questão 10
UNICAMP 2010
(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 10)
Suponha que f :IR →IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo.
a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99).
b) Dadas as funções g(y) = y2 – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5.
Gabarito:
Resolução:
a) A função f é ímpar, seu gráfico é simétrico em relação à origem, de modo que no intervalo [-5,0] é dado por:
Como o intervalo tem comprimento 10, que é exatamente o período da função f, o restante do gráfico é determinado pela periodicidade da mesma:
Além disso, novamente pela periodicidade da função, temos que:
Vamos, então, calcular f(-1):
No intervalo a função tem como gráfico um segmento de reta, passando por (0,0) e (5/2,5), cujo coeficiente valerá:
Como a reta passa por (5,0), segue que:
Assim, fazendo a composição de g e f: