Questão 11

UNICAMP 2010

Matemática

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 11)

No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões abaixo.

a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.

b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.

Gabarito:

Resolução:

a) Seja OA a reta da equação reduzida y = ax, com a > 0, seu coeficiente angular é a.

Como a reta BC é perpendicular a OA, temos que:

$m_{BC} = - frac{1}{a}$ . Além disso, como o ponto B = (2,0) pertence à reta BC, podemos equacionar:

$y - y_{B} = m_{BC}(x-x_{B})$

$y - 0 = - frac{1}{a} (x-2)$

$y = -frac{1}{a} x + frac{2}{a}$

O ponto C, sendo um ponto do eixo das ordenadas, terá abcissa nula. Como ele também pertence a BC,podemos substituir as coordenadas:

$y_{C} = - frac{1}{a} cdot 0 + frac{2}{a}$

$y_{c} = frac{2}{a}$

Assim, $C = (0, frac{2}{a})$

b) Se a = 3, a reta OA tem equação y = 3x, enquanto que a reta BC tem equação $y = -frac{1}{3} x + frac{2}{3}$ . Sendo o ponto A comum às duas retas, fazemos:

$left{egin{matrix} y_{A} & = 3x_{A} \ y_{A} & = - frac{1}{3}x_{A} + frac{2}{3} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} x_{A} & = frac{1}{5} \ y_{A} & = frac{3}{5} end{matrix} ight.$

$A = (frac{1}{5}, frac{3}{5})$

Para que uma circunferência de centro A seja tangente ao eixo das abscissas, seu raio deve ser igual à ordenada de A, isto é, $y_{A} = frac{3}{5}$

Portanto:

$C: (x-frac{1}{5})^{2} + (y-frac{3}{5})^{2} = (frac{3}{5})^{2}$

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