Questão 12

UNICAMP 2010

Matemática

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 12)

Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda.

O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.

Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.

a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?

b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?

Gabarito:

Resolução:

O total de participantes do site A é a soma dos termos de uma PG com:

$a_{0} = 150$

$a_{1} = 100$

$q = 2$ ; a partir de a₁.

Já o total de participantes do site B é a soma dos termos de uma PA com $b_{0} = 2200, b_{1} = 100 e r = 100$ a partir de b₁.

Logo, após n semanas:

$A_{n} = frac{a_{0}+frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}{}$
$B_{n} = b_{0} + frac{(b_{1}+b_{n})n}{2}$

Onde b₀é o termo geral da PA que vale: $b_{n} = b_{1} + (n-1)r = 100n$ . Assim, podemos obter uma expressão para cada site em função de n:

$A_{n} = 150 + 100 (2^{n}-1) = 50 + 100 cdot 2^{n}$
$B_{n} = 2200 + frac{(100+100n)n}{2} = 50n^{2} + 50n + 2200$

a) Após 6 semanas (n = 6), substituindo em (I), temos que o total de associados de A será :

$A_{6} = 50 + 100 cdot 2^{6} = 6450$

Já o número total de membros atraídos na sexta semana pode ser calculadio pela subtração da quantidade total de membros na sexta e na quinta semanas:

$a_{6} = A_{6} - A_{5} = (50 + 100 cdot 2^{6}) - (50 + 100 cdot 2^{5}) = 100 cdot 32 = 3200$

Logo, o site A espera atrair 3200 membros daqui a 6 semanas e ter 6450 associados.

b) Para saber a semana na qual B terá 10000 membros basta fazer B_n= 1000. Logo, da expressão (II):

$50n^{2} + 50n + 2200 = 10000$

$n^{2} + n - 156 = 0$

$n = 12$

Assim na 12ª semana o site B terá 10.000 membros.

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