Questão 17899

UNICAMP 2017

Matemática

(UNICAMP - 2017 - adaptada) Seja x um número real, 0 < x < π/2, tal que a sequência (tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a

5/4

4/3

1/3

1/2

Gabarito:

1/3

Resolução:

Se a sequência é de fato uma PA, temos: $sec(x)- an(x)=2-sec(x) ightarrow 2sec(x)=2+ an(x)$

$ightarrowfrac{2}{cos(x)}=2+frac{sin(x)}{cos(x)} ightarrow 2=2cos(x)+sin(x)$

Mas como $sin(x)=sqrt{1-cos^2(x)}$ , temos:

$left(sqrt{1-cos^2(x)} ight)^2=left(2-2cos(x) ight)^2 ightarrow 1-cos^2(x)=4-8cos(x)+4cos^2(x)$

$ightarrow 5cos^2(x)-8cos(x)+3=0 ightarrow cos(x)=frac{8pmsqrt{8^2-4cdot3cdot5}}{10}$

$ightarrow cos(x)=frac{8pmsqrt{4}}{10} ightarrow cos(x)=frac{8pm2}{10} herefore cos(x)=frac{3}{5},,,,,,ou,,,,,,cos(x)=1$

Como o enunciado diz que $0<x<frac{pi}{2}$ , descartamos a solução $cos(x)=1$ .

Então, como $cos(x)=frac{3}{5}$ , temos: $sin(x)=frac{4}{5}$ , $an(x)=frac{4}{3}$ e $sec(x)=frac{5}{3}$

Logo, a PA fica:

$left(frac{4}{3},frac{5}{3},2 ight)$

Com isso, a razão da PA é $r=frac{1}{3}$

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