Questão 14

UNICAMP 2017

Matemática

(UNICAMP - 2017 - 2ª FASE) Sejam 𝑐 um número real e 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 𝑐 uma função quadrática definida para todo número real 𝑥. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥).

a) Determine 𝑐 no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4.

b) Considere os pontos de coordenadas 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) e 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)), onde 𝑎 e 𝑏 são números reais com 𝑎 < 𝑏. Sabendo que o ponto médio do segmento $overline{AB}$ é 𝑀 = (1, 𝑐), determine 𝑎 e 𝑏.

Gráfico do campo de respostas

Gabarito:

Resolução:

a) A abscissa e a ordenada do vértica da parábola são conhecidos pelas fórmulas:

$y_{v}=- frac{Delta}{4a}$

$x_{v}=- frac{b}{2a}$

substituindo os valores:

$y_{v}=- frac{Delta}{4a}= frac{-16+4c}{4}= -4+c$

$x_{v}=- frac{b}{2a} = frac{4}{2}=2$

Para que a soma de ambos seja nula:

$-4+c+2=0$

$c=2$

b) aplicando a função f(a) temos:

$A=(a;f(a)) ightarrow A=(a;a^{2}-4a+2)$

$B=(b;f(b)) ightarrow B=(b;b^{2}-4b+2)$

Calculando o ponto médio:

$X_{medio}= frac{a+b}{2}=1$

$a+b=2$

$Y_{medio}= frac{a^{2}-4a+c+b^{2}-4b+c}{2}=c$

$a^{2}+b^{2}-4(a+b)=0$

mas ja sabemos quanto vale a+b:

$a^{2}+b^{2}=8$

temos então o sistema não linear:

$egin{cases} & a+b=2 \ &a^{2}+b^{2} end{cases}$

resolvendo:

isolando o b e aplicando na outra fórmula:

$b=2-a$

$a^{2}(2-a)^{2}=8$

abrindo o produto notável e fazendo as devidas simplificações obteremos uma equação de segundo grau:

$a^{2}-2a-2=0$

resolvendo:

$Delta= 4-4 cdot1 cdot(-2)=12$

$a=frac{2^{+}_{-} 2sqrt{3}}{2}$

$a_{1}=1+sqrt{3}$

$a_{2}=1-sqrt{3}$

sabendo que a<b precisamos selecionar a responta que atende essa condição:

testando a segunda solução obtemos o valor de b:

$b=2 -(1-sqrt{3}) = 1+ sqrt{3}$

satisfazendo a condição a<b

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