Questão 17

UNICAMP 2017

Matemática

(UNICAMP - 2017 - 2ª FASE) Sabendo que 𝑚 é um número real, considere o sistema linear nas variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧:

$large left{egin{matrix} mx+2z=4,\ x-y+z=3,\ 2x+mz=4. end{matrix} ight.$

a) Seja 𝐴 a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de 𝑚 para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz 𝐴 é igual à soma dos elementos da matriz 𝐴² = 𝐴 ∙ 𝐴.

b) Para 𝑚 = 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto 𝑥𝑦𝑧 é mínimo.

Gabarito:

Resolução:

a) Olhando para os coeficientes temos a matriz:

$A=egin{pmatrix} m &0 & 2\ 1& -1 & 1\ 2& 0&m end{pmatrix}$

A soma dos quadrados dos elementos então é:

$m^{2}+m^{2}+4+1+1+1+4$

somando:

Eq.1. $2m^{2}+11$

Calculando o quadrado da matriz A:

$A^{2}=egin{pmatrix} m &0 & 2\ 1& -1 & 1\ 2& 0&m end{pmatrix} cdot egin{pmatrix} m &0 & 2\ 1& -1 & 1\ 2& 0&m end{pmatrix} = egin{pmatrix} m^{2}+4&0 &4m \ m+1& 1& 1+m\ 4m&0 &4+m^{2} end{pmatrix}$

Igualando a Eq.1. a soma dos elementos da matriz A²:

$2m^{2}+11=2+2m+4m+1+4+m^{2}+m^{2}+4+4m$

resolvendo:

$2m^{2}+11=10m+11+2m^{2}$

$m=0$

b) Substituin m no sistema linear:

$large left{egin{matrix} 2x+2z=4,\ x-y+z=3,\ 2x+2z=4. end{matrix} ight.$

note que a primeira equação é igual a terceira, portanto podemos eliminar uma delas.

$large left{egin{matrix} 2x+2z=4,\ x-y+z=3,\end{matrix} ight.$

dividindo a primeira equação por 2:

$large left{egin{matrix} x+z=2,\ x-y+z=3,\end{matrix} ight.$

substituindo a primeira equação na segunda e resolvendo obtemos:

$large y=-1$

se chamar o produto xyv de f(x) e utilizarmos o resultado obtido acima obteremos:

$large f(x)=xyz=x(-1)(2-x)$

$large f(x)=x^{2}-2x$

Com essa função de segundo grau conseguimos obter o mínimo valor de x calculando x vértice (lembrando que já temos o mínimo valor de y que é -1), valores obtidos com a fórmula:

$large X_{v}=frac{-b}{2a}=frac{2}{2}=1$

Sabendo o x e o y minimo calculamos o z minimo:

$large z=2-x=2-1=1$

Solução portanto:

$large z=1$

$large x=1$

$large y=-1$

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