Questão 18

UNICAMP 2017

Matemática

(UNICAMP - 2017 - 2ª FASE) Sabendo que 𝑘 é um número real, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑘 sen 𝑥 + cos 𝑥, definida para todo número real 𝑥.

a) Seja 𝑡 um número real tal que 𝑓(𝑡) = 0. Mostre que 𝑓(2𝑡) = −1.

b) Para 𝑘 = 3, encontre todas as soluções da equação 𝑓(𝑥)² +𝑓(−𝑥)² = 10 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

Gabarito:

Resolução:

Eq.1. $k cdot sent+cost=0$

Considerando a equação acima como verdade, vamos ver o que é f(2t):

Eq.2. $f(2t)=k cdot sen2t+cos2t=kcdot 2sentcost+cos^{2}t-sen^{2}t$

Observe que acima foi utilizado a relação de arco duplo de seno e de cosseno

Lembrando agora da relação trigonométrica fundamental:

$sen^{2}t+cos^{2}t=1$

$sen^{2}=1-cos^{2}t$

Substituindo isso na Eq.2.

$f(2t)=k cdot sen2t+cos2t=kcdot 2sentcost+cos^{2}t-(1-cos^{2}t)$

$f(2t)=k cdot sen2t+cos2t=kcdot 2sentcost+2cos^{2}t-1$

Colocando 2cos t em evidencia:

$f(2t)=k cdot sen2t+cos2t=2cos;t(ksen;t+cos;t)-1$

Aplicando a Eq.1. na equação acima temos:

$f(2t)=k cdot sen2t+cos2t=2cos;t(0)-1$

$f(2t)=-1$

b)Sendo k=3:

$f(x)=3sen;x+cos;x$

$f(x)^{2}+f(-x)^{2}=10 ightarrow (3sen;x+cos;x)^{2}+(3sen;(-x)+cos;(-x))^{2}=10$

Eq.3. $(3sen;x+cos;x)^{2}+(3sen;(-x)+cos;(-x))^{2}=10$

Sabendo que a função cosseno é par, ou seja, que $cos(-x)=x$ e que seno é uma função ímpar, ou seja, $sen(-x)=-sen;x$ podemos utilizar essas propriedades para reescrever a Eq.3:

$(3sen;x+cos;x)^{2}+(-3sen;(x)+cos;(x))^{2}=10$

Desenvolvendo o produto notável:

$9sen^{2}x+6sen;xcdot cos;x+cos^{2}x+9sen^{2}x-6sen;x cdot cos ;x+cos^{2} x$

$18sen^{2}x+2cos^{2}x=10$

Novamente usando a relação trigonométrica fundamental e substituindo na equação:

$18sen^{2}x+2(1-sen^{2}x)=10$

$18sen^{2}x+2-2sen^{2}x=10$

$sen^{2}x=frac{8}{16}=frac{1}{2}$

$sen x=^{+}_{-}{frac{1}{sqrt{2}}}=^{+}_{-}frac{sqrt{2}}{2}$

Atendendo a condição dada no enunciado, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, temos que o conjunto solução para x é $S=left { frac{pi}{4},frac{3pi}{4},frac{5pi}{4},frac{7pi}{4} ight }$ .

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