FUVEST 2007

Questão 51177

(UNICAMP - 2007) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior dimensão resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a espessura do papel dobrado em função do número k de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensões do paralelepípedo? 

Questão 51178

(UNICAMP - 2007)  Um pluviômetro é um aparelho utilizado para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada região. A figura de um pluviômetro padrão é exibida ao lado. Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura circular existente no topo é de 20 cm. A água que cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de altura e sua base tem 1/10 da área da abertura superior do pluviômetro. (Obs.: a figura ao lado não está em escala).

a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.
b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o volume de água precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular com 500 m de comprimento por 300 m de largura.

Questão 51179

(UNICAMP - 2007) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes.
a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$18,00 / kg ou para R$ 20,00 / kg?
b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.
c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?

Questão 51180

(UNICAMP - 2007) Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez pessoas, sendo sete mulheres e três homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo.
a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas?
b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados?
c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio?

Questão 51181

(UNICAMP - 2007) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo.

Resolva as questões abaixo supondo que  = 15º. Despreze a espessura das barras de madeira e não use aproximações nos seus cálculos.
a) Calcule os comprimentos b e c em função de a, que corresponde ao comprimento da barra da base da estrutura.
b) Assumindo, agora, que a = 10m, determine o comprimento total da madeira necessária para construir a estrutura.

Questão 51182

(UNICAMP - 2007) Seja dado o sistema linear:

a) Mostre graficamente que esse sistema não tem solução. Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear Ax = b impossível, utiliza-se o método dos quadrados mínimos, que consiste em resolver o sistema A^TAx = A^Tb. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de M^T (a transposta de uma matriz M) são iguais às colunas de M. 

Questão 51183

(UNICAMP - 2007) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90º e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3.
a) Determine r.
b) Determine AB e AC.
c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo

Questão 51184

(UNICAMP - 2007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função , onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P₀ é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0.

a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b.
b) Dada uma concentração inicial P₀, de estrôncio 90, determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 20% de P₀. Considere

Questão 51185

(UNICAMP - 2007) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy.

a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a)

Questão 51187

(UNICAMP - 2007) Seja ABCDA₁B₁C₁D₁ um cubo com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto médio de BC e O o centro da face CDD₁C₁, conforme mostrado na figura abaixo

a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC₁ e DD₁ em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL.
b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, K, C e M.