Questão 51

AFA 2015

Física

(AFA - 2015)

Na cidade de Macapá, no Amapá, Fernando envia uma mensagem via satélite para Maria na mesma cidade. A mensagem é intermediada por um satélite geoestacionário, em órbita circular cujo centro coincide com o centro geométrico da Terra, e por uma operadora local de telecomunicação da seguinte forma: o sinal de informação parte do celular de Fernando direto para o satélite que instantaneamente retransmite para a operadora, que, da mesma forma, transmite para o satélite mais uma vez e, por fim, é retransmitido para o celular de Maria. Considere que esse sinal percorra todo trajeto em linha reta e na velocidade da luz, c; que as dimensões da cidade sejam desprezíveis em relação à distância que separa o satélite da Terra, que este satélite esteja alinhado perpendicularmente à cidade que se encontra ao nível do mar e na linha do equador. Sendo, M, massa da Terra, T, período de rotação da Terra, RT raio da Terra e G, a constante de gravitação universal, o intervalo de tempo entre a emissão do sinal no celular de Fernando e a recepção no celular de Maria, em função de c, M, T, G e RT é

Gabarito:

Resolução:

Para descobrir o tempo gasto, primeiro precisamos da distância entre o satélite e a superfície. O raio da órbita do satélite não é dado, então vamos calcular através da força centrípeta, lembrando que o satélite é geoestacionário, ou seja, tem período de rotação igual ao da Terra:

$F_{cp}=F_{g}$

$frac{mcdot v^{2}}{R}=frac{GMm}{R^{2}}$

onde:

M = massa da Terra

m = massa do satélite

R = distância entre o satélite e o centro geométrico da Terra

$frac{cancel{m}cdot v^{2}}{cancel{R}}=frac{GMcancel{m}}{Rcancel{^{2}}}$

Dessa forma:

$v^{2}=frac{GM}{R}$

Se $v = omega R$ e $omega =frac{2pi}{T}$

Logo,

$(omega R)^{2}=frac{GM}{R}$

$(frac{2pi}{T}R)^{2}=frac{GM}{R}$

$frac{(2pi)^{2}}{T^{2}}R^{2}=frac{GM}{R}$

$frac{R^{3}}{T^{2}}=frac{GM}{4pi^{2}} Rightarrow R = sqrt[3]{frac{GM}{4pi^{2}}cdot T^{2}}$

Melhor escrevendo:

$R = sqrt[3]{frac{GM}{4pi^{2}}cdot T^{2}}$ (equação 1)

A distância, é, portanto:

$Delta S= R-R_{T} = (sqrt[3]{frac{GM}{4pi^{2}}cdot T^{2}}) - R_{T}$

Essa distância é percorrida quatro vezes: do celular de Fernando ao satélite, do satélite à operadora, da operadora ao satélite e do satélite ao celular de Maria, ou seja

$Delta S= 4 cdot ((sqrt[3]{frac{GM}{4pi^{2}}cdot T^{2}}) - R_{T})$ (equação 2)