Questão 12452

ESCOLA NAVAL 2016

Matemática

(Esc. Naval 2016) A área da região limitada pelos gráficos das funções $y = sqrt{9-x^{2}}$ , y = left | x
ight |

e $y = frac{3sqrt{2}+2x}{4}$ é igual a:

$frac{3sqrt{2}}{4}left(3pi-2 ight )$

$frac{3}{4}left(pi-2 ight )$

$frac{3}{4}left(pi-2sqrt{2} ight )$

$frac{3}{4}left(3pi-2 ight )$

$frac{3}{4}left(3pi-2sqrt{2} ight )$

Gabarito: $frac{3}{4}left(3pi-2 ight )$

Resolução:

Vamos estudar as funções dadas:

$y=sqrt{9-x^2} ightarrow y^2+x^2=9$

Uma circunferência de raio 3.

$y=|x| ightarrow left{egin{matrix} xgeq 0 ightarrow y=x\ x< 0 ightarrow y=-x end{matrix} ight.$

Uma função modular.

Uma reta, que tem os pontos:

$\y=0=frac{3sqrt2+2x}{4} ightarrow x=-frac{3sqrt2}{2}\\ x=0 ightarrow y=frac{3sqrt2+0}{4}=frac{3sqrt2}{4}$

Podemos então traçar o desenho:

A parte amarela é a área que queremos descobrir.

Podemos usar a área de todo o setor circular de raio 3 menos a área do triângulo em azul. Precisamos primeiro encontrar qual o ponto C e o ponto D, assim podemos encontrar a área do triângulo OBC.

O ponto C é intersecção da função modular e da nossa equação da reta, ao igualarmos elas iremos encontrar o valor do ponto C:

$|x|=frac{3sqrt2+2x}{4}$

Como o ponto está no eixo negativo de x, usaremos -x na equação modular:

$-x=frac{3sqrt2+2x}{4} ightarrow -4x=3sqrt2+2x ightarrow -6x=3sqrt2 ightarrow x=-frac{sqrt2}{2}$

Para esse valor de x, y vai ser o mesmo, porém positivo, temos então que C está em:

$C=(-frac{sqrt2}{2},frac{sqrt2}{2})$

O ponto B será a intersecção da equação modular a equação da reta no eixo positivo:

$x=frac{3sqrt2+2x}{4} ightarrow 4x=3sqrt2+2x ightarrow 2x=3sqrt2 ightarrow x=frac{3sqrt2}{2}$

E o valor em y será igual:

$B=(frac{3sqrt2}{2},frac{3sqrt2}{2})$

Calculando a área agora:

$A_Delta=frac{1}{2}cdot egin{vmatrix} 0 &0 \ frac{3sqrt2}{2} &frac{3sqrt2}{2} \ -frac{sqrt2}{2}& frac{sqrt2}{2}\ 0 &0 end{vmatrix}=frac{1}{2}(0+frac{3}{2}+0-0+frac{3}{2}-0)=frac{1}{2}cdot3=frac{3}{2}$

Essa é a área do triângulo.

A área do setor circular é:

$A=frac{ heta}{360^circ}cdot pi cdot r^2 ightarrow frac{90^circ}{360^circ}cdot picdot 3^2 ightarrow frac{1}{4}cdot picdot 9=frac{9}{4}pi$

Como dito antes, a área pedida é igual a área do setor menos a área do triângulo:

$frac{9}{4}pi-frac{3}{2} ightarrow frac{3}{4}(3pi -2)$

Letra D

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