Questão 6889

Gabarito:

Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.

Resolução:

I)

Sabemos que todo quadrado perfeito termina com os algarismos 1, 4, 5, 6 ou 9. Assim, todo quadrado perfeito deixa restos 0, 1 ou 4 quando divididos por 5.

Vamos supor então que, sendo a, b e c os catetos e a hipotenusa do triângulo retângulo, se tivermos a², b² e c² não deixando resto 0 na divisão por 5 (nenhum é múltiplo de 5) então olhando apenas para os restos, temos as seguintes possibilidades para a²+b²:

Desse modo deveríamos ter , mas já foi mostrado que não existe inteiro c que satisfaça essa relação, portanto algum deles deve ser múltiplo de 5.

VERDADEIRO

 

II) 

Tomemos um triângulo retângulo com sua circunferência inscrita. Chamemos o um dos segmentos da imagem de x, sendo a a hipotenusa e b e c os catetos, os demais seguimentos são dados por potência de ponto em relação à circunferência. Veja o desenho:

Vemos que o cateto à esquerda, que vale c, pode também ser dado por:

c = b - (a - x) + x, então

x = (c + a - b)/2 (I)

Somando todos os lados, temos o perímetro do triângulo:

Vemos que o raio da circunferência é r = b - (a - x) (II).

Substituindo (I) em (II), temos que:

r = b - (a - (c + a - b)/2) = (b + c - a)/2

FALSO

 

III) 

Os triângulos retângulos possuem dois pés de altura localizados no mesmo ponto, no vértice onde há ângulo reto. Assim, com dois dos três pés de altura coincidentes, não há como formarmos um triângulo.

VERDADEIRO

 

IV) 

A hipotenusa de um triângulo retângulo é o diâmetro da circunferência circunscrita, assim o raio dela é metade da hipotenusa.

FALSO