Questão 6536
(ESCOLA NAVAL - 2013) Um grande triângulo equilátero será construído com palitos de fósforos a partir de pequenos triângulos equiláteros congruentes e dispostos em linhas. Por exemplo, a figura abaixo descreve um triângulo equilátero (ABC) construído com três linhas de pequenos triângulos equiláteros congruentes (a linha da base do triângulo ABC possui 5 pequenos triângulos equiláteros congruentes). Conforme o processo descrito, para que seja construído um triângulo grande com linha de base contendo 201 pequenos triângulos equiláteros congruentes é necessário um total de palitos igual a
15453
14553
13453
12553
11453
Gabarito:
15453
Resolução:
1) Note que a cada aumento na altura do triângulo aumenta-se 2 triângulos por fileira, sendo um deles voltado para cima e outro para baixo.
2) Também note que apenas os triângulos voltados para cima são formados por palitos diretamente. (os voltados para baixo são formados aproveitando os palitos dos outros).
3) Além disso, note que para cada fileira, o número de triângulos voltados para cima é dados por , onde n é o número total de triângulos na fileira.
4) Por fim, note que:
1ª fileira -> 1Δ
2ª fileira -> 2Δ
3ª fileira -> 3Δ
...
nª fileira -> (n+1)/2
PS: Lembre-se que n é o total d triângulos na fileira.
5) Logo, o número de Δ (triângulos voltados para cima) formam uma PA de razão 1 e a1=1.
6) Para 201 triângulos na última fileira:
101 fileiras.
7) Sabendo a quantidade de fileiras, podemos descobrir a quantidade de triângulos virados para cima:
8) Sabendo que cada triângulo gasta 3 palitos, temos que a quantidade de palitos será:
5151*3 = 15453