Questão 24380

ESCOLA NAVAL 2016

Matemática

(Esc. Naval 2016)

O plano π1 passa pela interseção dos planos π2 : x + 3y + 5z - 4 = 0 e π3: x - y - 2z + 17 = 0. Sendo π1 paralelo ao eixo y, pode-se afirmar que o ângulo que π1 faz com o plano π4: - 2x + 3y + z - 5 = 0 vale:

Gabarito:

Resolução:

(Esc. Naval 2016)

Os vetores normais aos planos $pi_2$ e $pi_3$ são respectivamente n2 = (1 ,3, 5) e n3 =(1, -1, -2).

Assim o vetor diretor da reta intersecção dos dois planos é dado pelo produto vetorial entre os dois vetores normais acima.

$vec{d_r} = (1,3,5)X(1,-1,-2) = egin{vmatrix} i & j & k\ 1 & 3 &5 \ 1 & -1 & -2 end{vmatrix}$

$\vec{d_r} = -6i + 5j -k -3k +5i +2j = -i +7j -4k Rightarrow \\ vec{d_r} = (-1,7,-4)$

O plano $pi _1$ é paralelo ao eixo y. Assim o vetor (0,1,0) está contido no plano.

Como o vetor diretor da reta intersecção também deve estar contido no plano temos que o vetor normal ao plano $pi _1$ será dado pelo produto vetorial entre (0,1,0) e (-1,7,-4).

$vec{n_1} = (-1,7,-4)X(0,1,0) = egin{vmatrix} i & j & k\ -1 & 7 &-4 \ 0 & 1 & 0 end{vmatrix} = -k + 4i = (4, 0, -1)$

O vetor normal ao plano $pi_4$ é $vec{n}_4 = (-2,3,1)$

Assim o ângulo $\ heta$ formado entre os planos $pi _1$ e $pi_4$ é encontrado pela relação:

$\cos( heta) = |frac{n_1.n_4}{|vec{n_1}|cdot |n_4|}| = frac{9}{sqrt{4^2+1^2}* sqrt{(-2)^2 + 3^2 +1^2}} = frac{9}{sqrt{17} *sqrt {14} } = frac{9}{sqrt{238}}$

$\ heta = arccos{frac{9}{sqrt{238}}}$

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