Questão 32987

ESCOLA NAVAL 2016

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2016) Seja q = (cos 5º)x(cos 20º)x(cos 40º)x(cos 85º) a razão de uma progressão geométrica infinita com termo inicial a₀=1/4.

Sendo assim, é correto afirmar que a soma dos termos dessa progressão vale:

1/15

2/15

3/15

4/15

7/15

Gabarito:

4/15

Resolução:

q = cos5 * cos20 * cos40 * cos85

Usando a transformação de soma em produto, temos:

q = cos5 * cos85 * cos20 * cos40 = 1/2*(cos90 + cos80)*1/2*(cos60 + cos20)

Sendo cos90 = 0 e cos60 = 1/2, temos que:

q = 1/4 * (cos80)*(1/2 + cos20) = 1/4 * (1/2*cos80 + cos20*cos80)

Usando mais uma vez a transformação de soma em produto, temos:

q = 1/4 * (1/2*cos80 + 1/2*(cos60 + cos100)) = 1/8 * (cos80 + cos60 + cos100)

Sabendo que cos(180 - x) = - cosx, temos que cos(180 - 80) = - cos80, então cos100 = - cos80.

Assim, substituindo cos100 = - cos80 e cos60 = 1/2, temos o seguinte:

q = 1/8 * (cos80 + cos60 - cos80) = 1/8 * (1/2) = 1/16

Agora, podemos fazer a soma infinita da PG:

S = a₁/(1-q) = (1/4)/(1 - 1/16) = 4/15

Dica:

Aprenda essas identidades trigonométricas de soma:

$sin(x) cdot cos(y)= frac{1}{2} cdotleft [ sin (x+y) + sin (x-y) ight ]$

$cos(x) cdot sin(y) = frac{1}{2} cdot left [ sin(x+y) - sin(x-y) ight ]$

$cos(x) cdot cos(y) = frac{1}{2} cdot left [ cos(x-y) + cos(x+y) ight ]$

$sin(x) cdot sin(y) = frac{1}{2} cdot left [ cos(x-y) - cos(x+y) ight ]$

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