Questão 63431

ESCOLA NAVAL 2016

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2016)

Seja o quadrado ABCD de lado 2. Traça-se, com centro no ponto M, médio do lado AB, uma semicircunferência de raio 2 que intersecta os lados BC e AD, respectivamente, em "E" e " F " . A área da superfície externa à semicircunferência e que também é interna ao quadrado, é igual a

Dado π = 3

$3-sqrt{3}$

$2-sqrt{3}$

$3+sqrt{3}$

$2+sqrt{3}$

$frac{60^{circ}}{360^{circ}}. pi . 2^{2} = frac{2 pi}{3}$ $3-sqrt{2}$

Gabarito:

$2-sqrt{3}$

Resolução:

Na figura acima, observe que a área procurada corresponde à área do quadrado subtraída da área de um setor circular de ângulo 60° e das áreas dos triângulos ΔAMF e ΔMEB.

A área do setor circular é calculada por:

$frac{60}{360}pi . 2^{2} = frac{2pi}{3}$

Temos que:

$\ pi = 3 \ \ frac{2pi}{3} = 2$

Por Pitágoras, podemos descobrir AF = BE:

1² + AF² = 2² ⇒ AF = √3

Por simetria, os triângulos ΔAMF e ΔMEB são congruentes e suas áreas são iguais. A soma das áreas é, portanto:

2∙(√3∙1)/2 = √3

Por fim, queremos:

4-(2+√3) = 2-√3

Gabarito: B

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