Questão 7150

ESCOLA NAVAL 2016

Matemática

(Esc. Naval 2016)

A equação com x ∈ ]0,π/2[ , possui como solução o volume de uma pirâmide com base hexagonal de lado ℓ e altura h =. Sendo assim, é correto afirmar que o valor de ℓ é igual a:

Gabarito:

Resolução:

$egin{vmatrix}sen^2x&1&sec^2x\ :1&cos^2x&0\ :1&0&1end{vmatrix}=-frac{31}{16}$

1) $mathrm{Encontrar:o:determinante:da:matriz:de:acordo:com:a:fórmula}:$

$egin{vmatrix}a&b&c\ d&e&f\ g&h&iend{vmatrix}=acdot egin{vmatrix}e&f\ h&iend{vmatrix}-bcdot egin{vmatrix}d&f\ g&iend{vmatrix}+ccdot egin{vmatrix}d&e\ g&hend{vmatrix}$

$sin ^2left(x ight)egin{vmatrix}cos ^2left(x ight)&0\ 0&1end{vmatrix}-1cdot egin{vmatrix}1&0\ 1&1end{vmatrix}+sec ^2left(x ight)egin{vmatrix}1&cos ^2left(x ight)\ 1&0end{vmatrix}=-frac{31}{16}$

$sin ^2left(x ight)cos ^2left(x ight)-1cdot :1+sec ^2left(x ight)left(-cos ^2left(x ight) ight)=-frac{31}{16}$

2) Simplificando:

$sin ^2left(x ight)cos ^2left(x ight)-2=-frac{31}{16}$

$sin ^2left(x ight)cos ^2left(x ight)=frac{1}{16}$

$sqrt{(sin left(x ight)cos left(x ight))^2}=sqrt{frac{1}{16}}$

$sin left(x ight)cos left(x ight)=frac{1}{4}$

3) $mathrm{Usar:a:seguinte:identidade:}:cos left(x ight)sin left(x ight)=frac{sin left(2x ight)}{2}$

$sin left(2x ight)=frac{1}{2}$

4) $mathrm{Soluc ilde{o}es:gerais:para}:sin left(2x ight)=frac{1}{2}$ com x ∈ ]0,π/2[:

$2x=frac{pi }{6}+2pi n,:2x=frac{5pi }{6}+2pi n$

$x=frac{pi }{12},:x=frac{5pi }{12}$

5) Para $x=frac{pi }{12}$

Assim,

$frac{1}{3} cdot frac{3l^2sqrt{3}}{2}cdot sqrt{3}=x herefore frac{3l^2}{2}=frac{pi}{2} ;;; herefore;;;oxed{ l=sqrt{frac{pi}{18}}}$

Alternativa B

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