Questão 7238

ESCOLA NAVAL 2016

Matemática

(Esc. Naval 2016) A curva plana C é representada pelo gráfico da função real e tem uma reta tangente no ponto de abscissa x = π. Essa reta tangente, o eixo y e o arco de curva situado abaixo do eixo x, determinam uma região R, cuja área vale

Gabarito:

Resolução:

Vamos inicialmente definir a reta tangente.

Temos que a reta tangente é:

$y=f(pi)+f(pi)cdot(x-pi)$

Vamos calcular a derivada

$frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}(x^{cos x }) =frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}(e^{ln x cos x })=e^{ln x cos x }frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}(ln x cdot cos x )=\\=x^{cos x}left(frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}ln xcdot cos x+ln x cdotfrac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} cos x ight)= x^{cos x}left(frac{cos x}{x}-ln x cdot sin x ight )\\ f(pi)={pi}^{-1}left(frac{-1}{pi}-ln picdot 0 ight )=-frac{1}{pi^2}$

Além disso,

$f(pi)=pi^{-1}=frac{1}{pi}$

Assim a equação da reta será:

$y=-frac{x}{pi^2}+frac{2}{pi}$

A equação da circunferência equivale a :

$y^2+x^2-2pi x+pi^2=pi^2Rightarrow y^2+(x-pi)^2=pi^2$

Traçando o gráfico temos:

Na figura, o raio da circunferência é pi e o centro é (pi,0). A reta cruza o eixo y em 2/pi

Para definir a área calculamos a soma da área da semicircunferência com a área do triângulo:

$frac{1}{2}left(frac{2}{pi}cdot2pi ight )+frac{pi pi^2}{2}=2+frac{pi^3}{2}=frac{pi^2}{2}left(pi+frac{4}{pi^2} ight )$

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