Questão 7620

ESCOLA NAVAL 2016

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2016) O conjunto S formado por todos os números complexos z que satisfazem a equação |z - 1|= 2 |z + 1| é representado geometricamente por uma

reta vertical.

circunferência de centro (5/3; 0) e raio 4/3.

parábola com vértice na origem e eixo de simetria Ox.

elipse de centro (-3; 0) e eixo horizontal.

circunferência de centro (-5/3; 0) e raio 4/3.

Gabarito: circunferência de centro (-5/3; 0) e raio 4/3.

Resolução:

1) Considerando z=x+yi e desenvolvendo o módulo ->

$left|x+yi-1 ight|=2left|x+yi+1 ight|$

$left|(x-1)+(y)i ight|=2left|(x+1)+(y)i ight|$

$sqrt{(x-1)^2+(y)^2}=2sqrt{(x+1)^2+(y)^2}$

2) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$(x-1)^2+(y)^2=4(x+1)^2+4(y)^2$

3) $mathrm{Reescrever}:left(x-1 ight)^2+y^2=4left(x+1 ight)^2+4y^2:mathrm{com:a:forma:da:equação:geral:da:circunferência}$ :

$left(x-1 ight)^2+y^2-4left(x+1 ight)^2-4y^2=0$

$-3x^2-10x-3y^2=3$

$x^2+frac{10x}{3}+y^2=-1$

$left(x^2+frac{10x}{3}+frac{25}{9} ight)+y^2=-1+frac{25}{9}$

$left(x+frac{5}{3} ight)^2+y^2=frac{16}{9}$

$left(x-left(-frac{5}{3} ight) ight)^2+left(y-0 ight)^2=left(frac{4}{3} ight)^2$

4) Logo, temos uma $mathrm{Circunferhat{e}ncia:com:centro:em}:left(-frac{5}{3},:0 ight):mathrm{e:raio}:r=frac{4}{3}$

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