Questão 8

FUVEST 2004

Matemática

(FUVEST - 2004 - 2ª fase - Questão 8) Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferências externas tem mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C. Se o raio de C é igual a 2, determinar

a) o valor de r.

b) a área da região hachurada.

Gabarito:

Resolução:

$2(r+2)$ é a medida da diagonal de um quadrado de lado 2r:

$\ 2(r+2) = 2rsqrt{2} \ \ r + 2 = r sqrt{2} \ \ r(sqrt{2}-1) = 2 \ \ r = frac{2}{sqrt{2}-1} \ \ r = 2(sqrt{2}+1)$

b) Temos que área em rosa é igual à área de um quadrado de lado 2r menos a soma das áreas de um círculo de raio r e um círculo de raio 2, ou seja:

$\ S = (2r)^{2} - pi r^{2} - pi 2^{2} \ \ S = (4-pi)r^{2} -4pi \ S= (4-pi)(2sqrt{2} + 2)^{2} -4 pi \ \ S= (4-pi )(12 +8 sqrt{2})-4pi \ \ S = 4[(4-pi)(3+2sqrt{2})-pi]$

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