Questão 7

FUVEST 2004

Matemática

(FUVEST - 2004 - 2ª fase - Questão 7) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo Bˆ o ângulo reto. Sabendo-se que ) A = (0,0) , B pertence à reta x − 2y = 0 e P = (3,4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas

a) do vértice B.

b) do vértice C.

Gabarito:

Resolução:

Temos:

O raio da circunferência de centro P e tangente à reta x-2y =0 é igual a :

$r = frac{|3-2.4|}{sqrt{1+4}} = sqrt{5}$

Temos que o ponto B pertence à reta x-2y =0, com isso B tem coordenadas:

B(2b, b)

Além disso, o triângulo APQ é retângulo no ponto Q, portanto:

$\ AP = 5 e PQ = sqrt{5} \ \ AQ^{2} = 5^{2} - 5 = 20 \ \ AQ = 2sqrt{5}$

Então:

$\ AB = AQ +r = 3sqrt{5} \ \ (2b)^{2} + b^{2} = (3sqrt{5})^{2} \ \ 5b^{2} = 45 \ \ b^{2} = 9 \ \ b = 9$

Com isso, b tem coordenada,

B (6,3)

Temos que a reta AC de equação y = mx , é tal que:

$\ frac{|m.3-4|}{sqrt{m^{2}+1}} = sqrt{5} \ \ m = frac{11}{2} ou frac{1}{2}$

Então a equação de reta AC é:

$y = frac{11}{2}x$

pois 1/2 é coeficiente angular da reta AB.

Temos que a reta BC passa pelo ponto B e tem coeficiente angular m = -2. Com isso sua equação é:

$\ y - 3 = -2 (x-6) \ \ y = -2x + 15$

O ponto C é a intersecção das retas AC e BC, com isso:

$\ y = frac{11}{2} x \ \y = -2x + 15 \ \ x = 2 e y = 11$

Portanto, temos:

$C (2,11)$

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