Questão 33989

IME 2003

Matemática

(IME) Resolva a equação a seguir, sabendo que $ain[0,frac{pi}{2})$ .

$tgleft(a ight )+tgleft(2a ight )=2tgleft(3a ight )$

$left{ 0,frac{pi}{3} ight }$

$left{ 0,frac{pi}{2} ight }$

$left{ frac{pi}{3},frac{2pi}{3} ight }$

$left{ frac{pi}{3},pi ight }$

$left{ pi,frac{4pi}{3} ight }$

Gabarito:

$left{ 0,frac{pi}{3} ight }$

Resolução:

$tgleft(a ight )+tgleft(2a ight )=2tgleft(3a ight )$

$tgleft(3a ight )=frac{tgleft(a ight )+tgleft(2a ight )}{1-tgleft(a ight )cdot tgleft(2a ight )}Rightarrow 2tgleft(3a ight )=tgleft(a ight )+tgleft(2a ight )=frac{2cdot left(tgleft(a ight )+tgleft(2a ight ) ight )}{1-tgleft(a ight )cdot tgleft(2a ight )}\\ Rightarrow tgleft(a ight )+tgleft(2a ight )=0\ ou\ 1=frac{2}{1-tgleft(a ight )cdot tgleft(2a ight )}Rightarrow tgleft(a ight )cdot tgleft(2a ight )=-1$

Então temos duas opções:

$tgleft(a ight )+tgleft(2a ight )=0$ :

$tgleft(2a ight )=frac{tgleft(a ight )+tgleft(a ight )}{1-tgleft(a ight )cdot tgleft(a ight )}=frac{2tgleft(a ight )}{1-tg^2left(a ight )}Rightarrow\\ tgleft(a ight )+tgleft(2a ight )=tgleft(a ight )+frac{2tgleft(a ight )}{1-tg^2left(a ight )}=tgleft(a ight )cdotleft(1+frac{2}{1-tg^2left(a ight )} ight )=0\\ tgleft(a ight )=0Rightarrow a=0,, ou\ 1+frac{2}{1-tg^2left(a ight )}=0Rightarrow tg^2left(a ight )=3Rightarrow tgleft(a ight )=sqrt{3}Rightarrow a=frac{pi}{3}$

Agora,

$tgleft(a ight )cdot tgleft(2a ight )=-1$ :

$tgleft(2a ight )=frac{2tgleft(a ight )}{1-tg^2left(a ight )}Rightarrow tgleft(a ight )cdot tgleft(2a ight )=frac{2tg^2left(a ight )}{1-tg^2left(a ight )}=-1Rightarrow\\ 2tg^2a=-1+tg^2aRightarrow tg^2a=-1Rightarrow tgainmathbb{C}-mathbb{R}$

Logo, achamos um absurdo, pois $tgleft(a ight )$ deve ser real.

Logo, as soluções encontradas foram $a=left{0,,,frac{pi}{3} ight }$ .

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