Questão 34254

IME 2003

Matemática

Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética e z um número complexo de módulo unitário, determine um conjunto de valores para a, b, c, z de forma que eles satisfaçam a igualdade:

$frac{1}{z^a}+frac{1}{z^b}+frac{1}{z^c}=frac{1}{z^9}$

Gabarito:

Resolução:

Tome $p = frac{1}{z}$ . Sabemos que:

$p^{a} + p^{b} + p^{c} = (frac{1}{p})^{9}$ e que $|p|=1$

Como a, b e c são uma PA:

$p^{a} + p^{a+r} + p^{a+2r} = p^{-9}$ , onde r representa a razão:

Dividindo toda a equação por $p^{a}$ :

$1 + p^{r} + p^{2r} = p^{-9-a}$

Assumindo $p^{2r} = -1 e p^{r} = p^{-9-a}$ e que r é um número inteiro, podemos tomar w = i e r = 1 para a primeira equação e observando a segunda obtemos que:

$i^{1} = i^{-9-a}$

$-9-a = 4k + 1$

$a = -10 - 4k$

Se k = -3, então a =2.

Uma solução, portanto, poderia ser:

a = 2, b = 3, c = 4 e z = 1/i = -i

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