Questão 37392

IME 2003

Matemática

(IME 2003) As raízes distintas do polinômio a seguir são z₁, ..., z_n. P(x) = x + 2x² + 3x³ + ... + 23x²³ + 24x²⁴ + 23x²⁵ + 22x²⁶ + ... + x⁴⁷. Seja b_k a parte real de z_k². Determine o valor da soma: |b₁| + |b₂| + ... + |b_n|.

Gabarito:

Resolução:

Inicialmente fatoramos o polinômio:

$egin{matrix} P(x)=&;x(1+2x+dots+23x^{22}+24x^{23}+23x^{25}+dots+2x^{45}+x^{46})\ =&;x(1+x+x^2+dots+x^{22}+x^{23})^2 end{matrix}$

As raízes distintas não nulas de P, são as raízes de

$1+x+x^2+dots+x^{22}+x^{23}=prod_{k=1}^{23}left(x- ext{ cis }frac{2kpi}{24} ight)$

portanto podemos denominar:

$z_k= ext{cis }frac{kpi}{12}Rightarrow z_k^2= ext{cis }frac{kpi}{6}Rightarrow Re{z_k^2}=cosfrac{kpi}{6}$

Agora temos todas as informações necessárias para calcular a soma pedida:

$|b_1|+|b_2|+dots+|b_n|=sum_{k=1}^{23}left|cosfrac{kpi}{6} ight|$

os possíveis valores para o módulo no somatório são

$0,;frac{1}{2},;frac{sqrt{3}}{2}; ext{ e }1$

abrindo com calma verifica-se que a soma é:

$4cdot 0+8cdotfrac{1}{2}+8cdotfrac{sqrt{3}}{2}+3cdot 1=7+4sqrt{3}$

Obs.: Talvez a parte mais obscura da solução tenha sido a fatoração

$1+2x+dots+23x^{22}+24x^{23}+23x^{25}+dots+2x^{45}+x^{46}\=(1+x+x^2+dots+x^{22}+x^{23})^2$

a maneira mais prática de se verificar isso é fazendo a multiplicação da direita, e calculando separadamente os coeficientes de cada monômio:

$c_kx^k$

assim c_k será a quantidade de maneiras de se obter $a+b=k$ , onde $a,bleq 23$ , aqui a representa o expoente vindo do primeiro fator e b o expoente vindo do segundo.

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