Questão 12

IME 2008

Matemática

(IME - 2008/2009) É dada uma PA de razão $r$ . Sabe-se que o quadrado de qualquer número par $x$ , $x>2$ , pode ser expresso como a soma dos n primeiros termos desta PA, onde n é igual à metade de x. O valor de r é

Gabarito:

Resolução:

O quadrado de qualquer número par $x$ pode ser escrito como a soma dos $n$ primeiros termos da PA, com $n=frac{x}{2}$ . Logo, podemos escrever: $x=2n$ , qualquer valor de $ninmathbb{N}$ , e com isso:

$(2n)^2=a_1+a_2+cdots+a_n ightarrow 4n^2=frac{(a_1+a_n)cdot n}{2} ightarrow 8n=2a_1+(n-1)r$

Logo, como isso vale para qualquer valor de $x$ , ou seja, para qualquer valor de $n$ , podemos fazer para $n=1$ :

$8cdot1=2a_1+(1-1)r herefore a_1=4$

Para $n=2$ :

$8cdot2=2cdot 4+(2-1)r ightarrow 16=8+r herefore r=8$

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