(IME - 2008/2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação ∆, definida por X ∆ Y = (X – Y) U (Y – X). Pode-se afirmar que
(X ∆ Y) ∩ (X ∩ Y) = Ø
(X ∆ Y) ∩ (X – Y) = Ø
(X ∆ Y) ∩ (Y – X) = Ø
(X ∆ Y) U (X – Y) = X
(X ∆ Y) U (Y – X) = X
Gabarito:
(X ∆ Y) ∩ (X ∩ Y) = Ø
Primeiro vamos desenvolver XΔY para deixar em função das operações de intersecção e união apenas:
E = XΔY = (X - Y)U(Y - X)
Sabendo que A - B = A∩B', onde B' é o complementar de B em relação ao universo, temos:
E = (X∩Y')U(Y∩X') = [(X∩Y')UY]∩[(X∩Y')UX'] = [(XUY)∩(YUY')]∩[(XUX')∩(YUX')]
Sabendo que X'UX = U, que Y'UY = U e que se um conjunto A está contido no universo U então A∩U = A, temos:
E = (XUY)∩(X'UY')
Por De Morgan, temos que (AUB)' = (A'∩B') e (A∩B)' = (A'UB'), temos que:
E = (XUY)∩(X∩Y)'
Assim, analisando as alternativa, vemos que apenas (a) está correta, uma vez que:
(XΔY)∩(X∩Y) = (XUY)∩(X∩Y)'∩(X∩Y) = (XUY)∩ø = ø