Questão 3

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3^m + 14400 = n², determine o resto da divisão de m+n por 5.

Gabarito: 4

Resolução:

$3^m+14400=n^2$

$3^m=n^2-14400$

Reparem que $14400=120^2$ , logo:

$3^m=(n+120)(n-120)$

Vamos considerar agora, $m=x+y$ , portanto $3^m=3^x*3^y$ .

$3^x*3^y=(n+120)(n-120)$

$3^x=n+120$ (I)

$3^y=n-120$ (II)

Subtraindo II de I, chegamos a:

$3^x-3^y=n+120-(n-120)$

$3^x-3^y=240$

$3^y(3^{x-y}-1)=3*80$

$3^y=3$ , logo y=1

$3^{x-1}-1=80$

$3^{x-1}=81$ , logo x=5

Portanto, como m=x+y, m=6.

De (II) podemos achar o valor de n: $3=n-120$ , logo n=123

$n+m=123+6=129$

A divisão tem 129 por 5 tem como resto 4.

(IME - 2015/2016) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

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[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Seja Px = x2 + ax + b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b