Questão 4

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

O valor do somatório abaixo é

$sum_{k=1}^{15}Img(cis^{2k-1}frac{pi}{36})$

$frac{2+sqrt{3}}{4senfrac{pi}{36}}$

$frac{2-sqrt{3}}{4senfrac{pi}{36}}$

$frac{1}{4senfrac{pi}{36}}$

$senfrac{pi}{36}$

$frac{1}{4}$

Gabarito:

$frac{2+sqrt{3}}{4senfrac{pi}{36}}$

Resolução:

Podemos afirmar que $sum_{k=1}^{15}Img(cis^{2k-1}frac{pi}{36})=Imgsum_{k=1}^{15}(cis^{2k-1}frac{pi}{36})$ .

Vamos agora chamar $cisfrac{pi}{36}=z$ .

Assim, $Imgsum_{k=1}^{15}z^{2k-1}$ . Podemos então perceber que se trata da soma dos elementos de uma PG, de $a_1=z$ e razão $q=z^2$ .

Portanto: $sum_{k=1}^{15}z^{2k-1}=zfrac{(z^{30}-1)}{(z^2-1)}$

Como $z*z=1$ .

$sum_{k=1}^{15}z^{2k-1}=zfrac{(z^{30}-1)}{z(z-z)}$

$sum_{k=1}^{15}z^{2k-1}=frac{(z^{30}-1)}{(z-z)}=frac{cisfrac{30pi}{36}-1}{2isenfrac{pi}{36}}$

$sum_{k=1}^{15}z^{2k-1}=frac{-frac{sqrt3}{2}+frac{i}{2}-1}{2isenfrac{pi}{36}}=frac{1}{4senfrac{pi}{36}}+ifrac{2+sqrt{3}}{4senfrac{pi}{36}}$

$Imgsum_{k=1}^{15}z^{2k-1}=Img(frac{1}{4senfrac{pi}{36}}+ifrac{2+sqrt{3}}{4senfrac{pi}{36}})$

$Imgsum_{k=1}^{15}z^{2k-1}=frac{2+sqrt{3}}{4senfrac{pi}{36}}$

(IME - 2015/2016) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O polinômio tem raízes reais α, -α e 1/α. Portanto o valor da soma é

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n2, determine o resto da divisão de m+n por 5.

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Seja Px = x2 + ax + b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b