Questão 5

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Seja Px = x² + ax + b. Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor a e b

Gabarito: P(0)P(1)=0

Resolução:

Seja m a raiz em comum de P(x) e P(P(P(x)). Então temos:

$P(m)=0$ (i) e $P(P(P(m))=0$ (ii). Substituindo P(m) mais interno na equação à direita por 0:

$P(P(0))=0$ . (iii)

Calculando P(0), temos P(0)=b.

Então, aplicando a equação P(0)=b na (iii), temos que:

$P(b)=0$ (iv)

Calculando P(P(x)), temos:

$P(P(x)= (x)^2 (a+x)^2+ (x)(a+x)(a+2b)+(b^2+ab+b) ightarrow$

$ightarrow P(P(0))= (0)^2 (a+0)^2+ (0)(a+0)(a+2b)+(b^2+ab+b) ightarrow$

$ightarrow P(P(0))= (b^2+ab+b)= b imes (b+a+1)$ , Substituindo o P(0) mais interno por b:

$P(b)= (b^2+ab+b)= b imes (b+a+1)$

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