Questão 6

IME 2015

Matemática

(IME - 2015 / 2016)

Sabendo-se que os números reais positivos a, b e c formam uma progressão geométrica e , e formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que a, b e c

formam os lados de um triângulo obtusângulo.

formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.

formam os lados de um triângulo equilátero.

formam os lados de um triângulo retângulo.

não podem formar os lados de um triângulo.

Gabarito:

não podem formar os lados de um triângulo.

Resolução:

Se a, b, c formam uma P.G.:

$b^2 = a cdot c$ (equação 1).

Se $log (frac{5c}{a}), log (frac{3b}{5c}), log (frac{a}{3b})$ formam uma P.A.:

$2log (frac{3b}{5c}) = log (frac{5c}{a}) + log (frac{a}{3b})$

$log (frac{3b}{5c})^2 = log (frac{5c cdot a}{a cdot 3b})$

$log (frac{3b}{5c})^2 = log (frac{5c}{3b})$

$frac{(3b)^2}{(5c)^2} = frac{5c}{3b} Rightarrow (3b)^3= (5c)^3 Rightarrow 3b = 5c Rightarrow c = frac{3b}{5}$

Substituindo na equação 1:

$b^2 = a cdot frac{3b}{5}$

$a = frac{5b}{3}$

Conseguimos escrever todos em função de b, analisando a condição de existência do triângulo:

$left | frac{5b}{3}-frac{3b}{5} ight | < b < frac{5b}{3}+frac{3b}{5}$

$left | frac{16b}{15} ight | < b < frac{34b}{15}$

$frac{16b}{15} < b < frac{34b}{15}$

Porém $frac{16b}{15} > b$ , ou seja, encontramos um absurdo.

Alternativa E.

Alternativa (e), portanto.

Questão 6

IME 2015

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