Questão 1391

IME 2015

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Os inteiros n e m são sorteados do conjunto {1,2,3,...,2016}, podendo haver repetição. Qual a probabilidade do produto n × m ser múltiplo de 12?

$frac{5}{12}$

$frac{5}{18}$

$frac{5}{24}$

$frac{5}{36}$

$frac{5}{144}$

Gabarito: $frac{5}{18}$

Resolução:

Vamos tentar encontrar um padrão:

$\ullet ; extrm{se n = 1, então m=12k:};;;frac{2016}{12};casos\\\ullet ; extrm{se n = 2, então m=6k:};;;frac{2016}{6};casos\\\ullet ; extrm{se n = 3, então m=4k:};;;frac{2016}{4};casos\\\ullet ; extrm{se n = 4, então m=3k:};;;frac{2016}{3};casos\\\ullet ; extrm{se n = 5, então m=12k:};;;frac{2016}{12};casos\\\$

$\ullet ; extrm{se n = 6, então m=2k:};;;frac{2016}{2};casos\\\ullet ; extrm{se n = 7, então m=12k:};;;frac{2016}{12};casos\\\ullet ; extrm{se n = 8, então m=3k:};;;frac{2016}{3};casos\\\ullet ; extrm{se n = 9, então m=4k:};;;frac{2016}{4};casos\\\ullet ; extrm{se n = 10, então m=6k:};;;frac{2016}{6};casos\\\$

$\ullet ; extrm{se n = 11, então m=12k:};;;frac{2016}{12};casos\\\ullet ; extrm{se n = 12, então m=k:};;;frac{2016}{1};casos\\\$

Perceba que a partir de n = 12, o padrão de "m" irá se repetir!

Como assim? Simples:

se n = 13 ----->> m = 12k (2016/12) casos
se n = 14 ----->> m = 6k (2016/6) casos
se n = 15 ----->> m = 4k (2016/4) casos
se n = 16 ----->> m = 3k (2016/3) casos
se n = 17 ----->> m = 12k (2016/12) casos
se n = 18 ----->> m = 2k (2016/2) casos
se n = 19 ----->> m = 12k (2016/12) casos
se n = 20 ----->> m = 3k (2016/3) casos
se n = 21 ----->> m = 4k (2016/4) casos
se n = 22 ----->> m = 6k (2016/6) casos
se n = 23 ----->> m = 12k (2016/12) casos
se n = 24 ----->> m = k (2016/1) casos

Com isso em mente, vamos calcular o total de casos apenas para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12:

$\\frac{2016}{12}+frac{2016}{6}+frac{2016}{4}+frac{2016}{3}+frac{2016}{12}+frac{2016}{2}+frac{2016}{12}+frac{2016}{3}+frac{2016}{4}+\\\\+frac{2016}{6}+frac{2016}{12}+frac{2016}{1}=6720$

No entanto, de 1 à 2016, temos 168 "blocos" de 12. Pois,

a_n= a₁+ (n - 1).r

2016 = 12 + (n - 1).12 -------->> n = 168

Portanto, vamos multiplicar o valor encontrado por 168:

$\Total = 6720cdot 168 =40cdot 168^2$

O espaço amostral é igual a 2016.2016, pois para n temos 2016 possibilidades de escolha e para m também (lembre-se que há reposição, ou seja, repetição). Portanto,

$P= frac{40cdot 168^2}{2016cdot 2016}=frac{40}{144}=frac{5}{18}$

Questão 1391

IME 2015

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