Questão 9

IME 2015

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Seja . O maior valor de a, com a ≠ 1, que satisfaz A²⁴ = I é:

A

$frac{1}{2}$

B

$frac{sqrt2}{2}$

C

$frac{sqrt3}{2}$

D

$frac{sqrt2}{4}left(sqrt3-1 ight )$

E

$frac{sqrt2}{4}left(sqrt3+1 ight )$

Gabarito: $frac{sqrt2}{4}left(sqrt3+1 ight )$

Resolução:

Como $A^{24}=I$ , temos que $det(A^{24})=det(I)$ . Logo: $det(A)=det(I)$

$det(A)=a^2+b^2=1$

Vamos considerar que $left | a ight |leq 1$ , $left | b ight |leq 1$ e como $a^2+b^2=1$ podemos assumir que $a=sen heta$ e $b=cos heta$ .

Assim:

$A=egin{bmatrix} sen heta & cos heta \ -cos heta & sen heta end{bmatrix}$

Vamos agora analisar o comportamento das potências de A.

$A^1=egin{bmatrix} sen heta & cos heta \ -cos heta & sen heta end{bmatrix}$

$A^2=egin{bmatrix} cos2 heta & sen2 heta \ -cos2 heta & -cos2 heta end{bmatrix}$

$A^3=egin{bmatrix} -sen3 heta & -cos3 heta \ cos3 heta & -sen3 heta end{bmatrix}$

$A^4=egin{bmatrix} cos4 heta & -sen4 heta \ sen4 heta & cos4 heta end{bmatrix}$

$A^5=egin{bmatrix} sen5 heta & cos5 heta \ -cos5 heta & sen5 heta end{bmatrix}$

Percebemos então que a posição de cada sinal e função trigonométrica se repete a cada mudança de 4 unidades no expoente. Então a potência de 24 será na seguinte forma:

$A^{24}=egin{bmatrix} cos24 heta & -sen24 heta \ sen24 heta & cos24 heta end{bmatrix}$

Como $A^{24}=I$ , $cos24 heta =1$ e $sen24 heta =0$ .

$24 heta =k2pi$ , $kepsilon mathbb{Z}$

$heta = frac{kpi}{12}$

Para a máximo e diferente de 1: $a=senfrac{kpi}{12}$ , $a_{max}=senfrac{5pi}{12}=frac{sqrt{2}(sqrt{3}+1)}{4}$

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