Questão 11

IME 2015

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Seja a equação $frac{sen(2x)}{tgx}=frac{1}{2}$ . As soluções dessa equação para $xepsilon [-frac{pi}{2},pi]$ formam um polígono no círculo trigonométrico de área

$frac{sqrt{3}}{2}$

$sqrt{3}$

$frac{5sqrt{3}}{8}$

$frac{1}{2}$

$1$

Gabarito:

$frac{sqrt{3}}{2}$

Resolução:

De $frac{sen(2x)}{tgx}=frac{1}{2}$ , temos que $tgx eq 0$ , logo $x eq kpi$ , $kepsilon mathbb{Z}$ .

$sen(2x)=frac{tgx}{2}$

$2senxcosx=frac{senx}{2cosx}$

$4cos^2x=1$

$cos^2x=frac{1}{4}$

$cosx=pm frac{1}{2}$

Para isso, $x=pm frac{pi}{3}$ ou $x=pm frac{2pi}{3}$ .

Podemos agora representar as soluções no círculo trigonométrico:

O polígono formado é um triângulo retângulo, de catetos 1 e $sqrt{3}$ , logo a área é dada por $A=frac{1sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}}{2}$ .

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