Questão 12

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

O lugar geométrico dos pontos em ℝ² equidistantes às retas de equações

4x + 3y - 2 = 0 e 12x -16y + 5 = 0

4x + 28 y + 13 = 0

8x – 7y – 13 = 0

28 x – 4y – 3 = 0

56x² + 388xy – 184x – 56y² – 16y + 19 =0

112x² + 768xy – 376x – 112y² – 32y + 39 =0

Gabarito:

112x² + 768xy – 376x – 112y² – 32y + 39 =0

Resolução:

1) Suponhamos que tenhamos um ponto genérico P(x, y) que está equidistante das duas retas. Logo,

$frac{|4x+3y-2|}{sqrt{4^2+3^2}}=frac{|12x-16y+5|}{sqrt{12^2+(-16)^2}}$

2) Desenvolvendo:

$4 cdot |4x+3y-2|=|12x-16y+5|$

$|16x+12y-8|=|12x-16y+5|$

3) Logo,

$16x+12y-8=12x-16y+5$ ou $16x+12y-8=-(12x-16y+5)$

4) Para $16x+12y-8=12x-16y+5$

$4x+28y-13=0$

5) Para $16x+12y-8=-(12x-16y+5)$

$28x-4y-3=0$

6) Com isso, os pontos equidistantes estarão no lugar geométrico:

$(4x+28y-13)(28x-4y-3)=0$

$112x^2+768xy-376x-112y^2-32y+39=0$

(IME - 2015/2016) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O polinômio tem raízes reais α, -α e 1/α. Portanto o valor da soma é

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[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O valor do somatório abaixo é