Questão 14

IME 2015

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Em um triângulo , o ponto é o pé da bissetriz relativa ao ângulo . Sabe-se que

, e que

Portanto o valor de é

A

$frac{3r-1}{4}$

B

$frac{3r-1}{4r}$

C

$frac{r+3}{4}$

D

$frac{3r+1}{4r}$

E

$frac{3r+1}{4}$

Gabarito:

$frac{3r+1}{4r}$

Resolução:

Pelo teorema da bissetriz interna:

$frac{b}{c}=frac{x}{a-x}$

$x=frac{ab}{b+c}$

Usando lei dos senos no triângulo ACD:

$frac{b}{senalpha }=frac{x}{sen heta }$

$senalpha *frac{ab}{b+c}=b*sen heta$

$senalpha =frac{b+c}{a}sen heta$

Usando lei dos senos no triângulo ABC:

$frac{a}{sen2 heta }=frac{c}{senalpha }$

$senalpha =frac{c}{a}sen2 heta$

Igualando as expressões de $senalpha$ :

$(frac{b+c}{a})sen heta =frac{c}{a}sen2 heta$

$(frac{b+c}{a})sen heta =frac{c}{a}2sen heta cos heta$

$cos heta =frac{b+c}{2c}$

Como $heta =180-2alpha$

$cos(180-2alpha )=cos180*cos2alpha +sen180sen2alpha$

$cos(180-2alpha )=-cos2alpha$

$-cos2alpha=sen^2alpha -cos^2alpha=frac{b+c}{2c}$

$sen^2alpha -(1-sen^2alpha )=frac{b}{2c}+frac{1}{2}$

$2sen^2alpha=frac{b}{2c}+frac{1}{2}+1$

Substituindo $r=frac{c}{b} ightarrow frac{b}{c}=frac{1}{r}$

$sen^2alpha=(frac{1}{2r}+frac{1}{2}+1)frac{1}{2}$

$sen^2alpha=frac{3r+1}{4r}$

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