Questão 15

IME 2015

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que são paralelos entre si e situados a uma distância d, um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é
perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido S. Qual a distância entre estes planos distintos em função de a, de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?

A

$frac{a}{2}$

B

$frac{asqrt{3}}{2}$

C

$frac{asqrt{10}}{8}$

D

$frac{asqrt[4]{8}}{2}$

E

$frac{a(4-3sqrt{2})}{2}$

Gabarito:

$frac{asqrt[4]{8}}{2}$

Resolução:

$MN^2=AN^2-MA^2$

Temos que $AN=frac{asqrt{3}}{2}$ e que $MA=CA-CN=frac{asqrt{2}}{2}-frac{a}{2}$ .

Subsituindo na equação inicial:

$MN^2=frac{a^2}{4}[(sqrt{3})^2-(sqrt{2}-1)^2$

$MN = frac{asqrt[4]{8}}{4}$

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