Questão 8

IME 2015

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

A circunferência C tem equação x² + y²= 16. Seja C' uma circunferência de raio 1 que se desloca tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C' rola internamente sobre C.

Define-se o ponto P sobre C'de forma que no início do movimento de C' o ponto P coincide com o ponto de tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta que une o centro das circunferências é α, conforme figura b.

Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C' em função do ângulo α.
Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P quando α varia no intervalo $[0, 2pi)$ .

Gabarito:

Resolução:

Analisando o diagrama acima, concluímos que:

$eta = 4 alpha$ , pois o arco $P_{1} p$ é igual ao arco $pP$

$x_{p} = 3cos alpha + cos3alpha$

$y_{p} = 3senalpha -sen3alpha$

Sabemos que $cos(3alpha) = cos^{3}alpha- 3 cosalpha cdot sen^{2 }alpha$ , portanto:

$x_{p} = 3cosalpha + (cos^{3}alpha -3cosalpha cdot sen^{2}alpha)$

$x_{p} = cos^{3}alpha + 3cosalpha cdot cos^{2}alpha = 4cos^{3}alpha$

Outra relação que conhecemos é:

$sen(3alpha) = 3cos^{2}alpha senalpha- sen^{3}alpha$

Portanto:

$y_{p} = 3senalpha - sen 3alpha$

$y_{p} = 3senalpha - (3cos^{2}alpha sen alpha - sen^{3}alpha)$

$y_{p} = 3senalpha (1 - cos^{2}alpha) + sen^{3}alpha$

$y_{p} = 4 sen^{3}alpha$

As coordenadas de P são, então, $P = (4cos^{3}alpha, 4sen^{3}alpha)$ ou, também, :

$left{egin{matrix} x_{p} = &4cos^{3}alpha \ y_{p} = &4sen^{3}alpha end{matrix} ight.$

Então:

$cos^{2}alpha = (frac{x_{p}}{4})^{frac{2}{3}}$ e $sen^{2}alpha = (frac{y_{p}}{4})^{frac{2}{3}}$

$cos^{2}alpha + sen^{2} alpha = 1 = frac{x_{p}^{frac{2}{3}} + y_{p}^{frac{2}{3}}}{4^{frac{2}{3}}}$

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