Questão 3

IME 2015

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Seja $Z$ um número complexo tal que $frac{2Z}{overline{Z}i}$ possui argumento igual a $frac{3pi}{4}$ e $log_ 3(2Z + 2overline{Z} + 1) = 2$ .

Determine o número complexo $Z$ .

Gabarito:

Resolução:

$argegin{pmatrix} frac{2Z}{overline{Z}}\ end{pmatrix}=frac{3pi}{4}$ $log_{3}(2(Z+overline{Z})+1)=2$

$Z=a+bi$ $Z+overline{Z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$

$log_{3}(2(2a)+1)=2 Leftrightarrow 4a+1=9 Leftrightarrow {color{Red} a=2}$

$w=frac{2(a+bi)}{(a-bi)i}=frac{2(2+bi)}{(2-bi)i}=frac{4+2bi}{(2i-b)}frac{b-2i}{b-2i}=frac{2(2+bi)(b-2i)}{b^2+4} =\ \ \ frac{2(2b-4i+b^2i+2b)}{b^2+4}=frac{2(4b+(b^2-4)i)}{b^2+4}$

$Re (w)=frac{8b}{b^2+4}qquad Im(w)=frac{2(b^2-4)}{b^2+4}$

$anfrac{3pi}{4}=-1=frac{2(b^2-4)}{8b} herefore b^2-4=-4b herefore b^2+4b=4 herefore b^2+4b+4=8 ightarrow \ \ \ (b+2)^2=pm 2sqrt{2} herefore {color{Red} b=-2pm2sqrt{2}}$

$Z=2+(2sqrt{2}-2)i qquad ou qquad Z=2-(2+2sqrt{2})i$

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