Questão 5

IME 2015

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Determine o conjunto solução da equação:

$(sen , x)(1+ tg , x , tg frac{x}{2}) = 4 - cotg , x$

Gabarito:

Resolução:

Lembrando que $sen,2alpha=frac{2tg,alpha}{1+tg^2alpha}$ e $tg,2alpha=frac{2tg,alpha}{1-tg^2alpha}$ , temos:

$left(frac{2tgfrac{x}{2}}{1+tg^2frac{x}{2}} ight )left(1+frac{2tgfrac{x}{2}}{1-tg^2frac{x}{2}}cdot tgfrac{x}{2} ight )=4-left(frac{1-tg^2frac{x}{2}}{2tgfrac{x}{2}} ight )$

Para simplificar, faremos $t=tgfrac{x}{2}$ . Com isso:

$left(frac{2t}{1+t^2} ight )left(1+frac{2t}{1-t^2}cdot t ight )=4-left(frac{1-t^2}{2t} ight )$

$ightarrowleft(frac{2t}{1+t^2} ight )left(frac{1+t^2}{1-t^2} ight )=4-left(frac{1-t^2}{2t} ight )$

$ightarrowleft(frac{2t}{1-t^2} ight )=4-left(frac{1-t^2}{2t} ight )$

Agora, observando atentamente, percebemos que podemos utilizar a expressão de tangente do arco duplo, já que $t=tgfrac{x}{2}$ :

$frac{2t}{1-t^2}=frac{2tgfrac{x}{2}}{1-tg^2frac{x}{2}}=tg,x$

Logo, voltando à expressão anterior:

$ightarrowleft(frac{2t}{1-t^2} ight )=4-left(frac{1-t^2}{2t} ight) ightarrow tgx=4- frac{1}{tgx}$

$ightarrow tg,x+frac{1}{tg,x}=4 ightarrow tg^2x-4tg,x+1=0 herefore tg,x=frac{4pmsqrt{12}}{2}$

$ightarrow tg,x=2+sqrt3 ou tg,x=2-sqrt3$

Logo: $x=arctg(2+sqrt3) ou x=arctg(2-sqrt3)$

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