Questão 2

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Sejam as funções f_n, para n $epsilon$ {0,1,2,3,...}, tais que: f₀(x) = $frac{1}{1-x}$ e f_n(x) = f₀(f_n-1(x)), para n $geqslant$ 1.

Calcule f₂₀₁₆(2016).

Gabarito:

Resolução:

Note que:

$f_0(x)=frac{1}{1-x}$

$f_1(x)=f_o(f_0(x))=frac{1}{1-(frac{1}{1-x})}= frac{x-1}{x}$

$f_2(x)=f_o(f_1(x))=frac{1}{1-(frac{x-1}{x})}= x$

$f_3(x)=f_o(f_2(x))=f_0(x)$

E este comportamento se repetirá, logo:

$f_{3k}(x)=f_0(x)=frac{1}{1-x}$

$f_{3k+1}(x)=f_1(x)=frac{x-1}{x}$

$f_{3k+2}(x)=f_2(x)=x$

Como buscamos $f_{2016}(2016)$ , e 2016 é multiplo de 3:

$f_{3k}(2016)=frac{1}{1-2016}$

$f_{3k}(2016)=frac{-1}{2015}$

(IME - 2015/2016) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O polinômio tem raízes reais α, -α e 1/α. Portanto o valor da soma é

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n2, determine o resto da divisão de m+n por 5.

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O valor do somatório abaixo é