Questão 1

IME 2015

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Os inteiros $a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{25}$ estão em PA com razão nula. Os termos $a_{1},a_{2} e a_{10}$ estão em PG, assim como $a_{6},a_{j} e a_{25}$ . Determine j.

Gabarito:

Resolução:

Considere r a razão dessa progressão aritmética.

Se $a_{1}, cdots , a_{10}$ estão em progressão geométrica, podemos escrever que:

$frac{a_{10}}{a_{2}} = frac{a_{2}}{a_{1}}$

$frac{a_{1} + 9r}{a_{1} + r} = frac{a_{1} +r}{a_{1}}$

$1 + frac{8r}{a_{1} + r} = 1 + frac{r}{a_{1}}$

$8r cdot a_{1} = r(r + a_{1})$

$8a_{1} = a_{1} + r$

$r = 7a_{1}$

Por via de regra: $a_{j} = a_{1} + (j-1)cdot r$

$a_{j} = a_{1} + (j-1)cdot 7a_{1}$

$a_{j} = a_{1} [1 + 7(j-1)]$

Seguindo a PG de $a_{6}, a_{j} e a_{25}$ :

$frac{a_{25}}{a_{j}} = frac{a_{j}}{a_{6}}$

$a_{j}^{2} = a_{25} cdot a_{6}$

Pela relação encontrada anteriormente:

$a_{25} = a_{1} + 24 cdot 7 cdot a_{1} = 169 a_{1}$

$a_{6} = a_{1} + 5 cdot 7a_{1} = 36a_{1}$

Por fim:

$a_{j}^{2} = a_{1}^{2} cdot 169 cdot 36 = a_{1}^{2}cdot (6 cdot 13)^{2}$

$a_{1}^{2} cdot [7(j-1) +1]^{2} = a_{1}^{2} cdot (6cdot 13)^{2}$

$7(j-1) + 1 = 78 Rightarrow oxed {j = 12}$

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