Questão 6

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Seja a equação $n^{2}-7m^{2}=(5m-2)^{2}+49$ . Determine todos os pares inteiros (m, n), que satisfazem a esta equação.

Gabarito:

Resolução:

Acompanhemos a álgebra do problema.

$n^{2} - 7m^{2} = (5m-2n)^{2} + 49$

$n_{2} - 7m^{2} -25m^{2} +20 mn -4n^{2} = 49$

$-32m^{2} + 20 mn -3n^{2} = 49$

$[8m cdot (-4)] - [(-3n) cdot n] + 20mn = 49$

$[8m cdot (-4)] - [(-3n) cdot n] + (8mn + 12mn) = 49$

$(8m - 3n)(n-4m) = 49$

Se m e n são inteiros, 49 pode ser obtido da seguinte forma:

$49 = 7 cdot 7 = (-49) cdot (-1) = (-7) cdot (-7) = 49 cdot 1$

Para cada par de produtos que temos montar-se-à um sistema de equações.

Para 7 e 7:

$left{egin{matrix} 8m &-3n & = 7 \ n &-4m & = 7 end{matrix} ight.$

Para (-49) e (-1)

$left{egin{matrix} 8m &-3n & = -49 \ n &-4m & = -1 end{matrix} ight.$

Para (-7) e (-7)

$left{egin{matrix} 8m &-3n & = -7 \ n &-4m & = -7 end{matrix} ight.$

Para (-1) e (-49)

$left{egin{matrix} 8m &-3n & = -1 \ n &-4m & = -49 end{matrix} ight.$

Para (49) e (1)

$left{egin{matrix} 8m &-3n & = 49 \ n &-4m & = 1 end{matrix} ight.$

Para (1) e (49)

$left{egin{matrix} 8m &-3n & = 1 \ n &-4m & = 49 end{matrix} ight.$

As soluções para os seguintes sistemas são, respectivamente, de cima para baixo:

$n = -21, m = -7 \ n = 51, m = 13 \ n = 21, m = 7 \$

$n = -99, m = 37 \ n = -51, m = -13 \ n = -99, m = -37 \$