Questão 7

IME 2015

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Três jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado não viciado de seis faces. O primeiro jogador lança o dado, seguido pelo que está sentado à sua esquerda, continuando neste sentido até o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6, ganha e o jogo acaba. Se um jogador obtiver o resultado 1, o jogador seguinte perderá a vez, isto é, a vez passará ao jogador sentado à direita de quem obteve 1. O jogo seguirá até que um jogador ganhe ao tirar um 6. Qual é a probabilidade de vitória do primeiro jogador a jogar?

Gabarito:

Resolução:

Considere os jogadores na sequência horária B, C e A.

Se x, y e z forem as probabilidades de A, B e C, ganharem, respectivamente, temos que após n rodadas a probabilidade de que o jogo não tenha acabado é $(frac{5}{6})^{n}$ , pois isso aconteceria se o 6 não for sorteado nenhuma vez no dado em nenhuma rodada. Perceba que se o jogo tivesse infinitas rodadas a chance dele não acabar seria muito próxima de zero. Assim:

$x + y + z = 1$ , para garantir que o jogo, em algum momento, acabará. Como queremos que A ganhe , podemos escrever:

$x = frac{1}{6} + frac{4}{6}y + frac{1}{6} z$

$y = frac{1}{6}x + frac{4}{6}z$

$z = frac{4}{6}x + frac{1}{6}y$

Montando o sistema:

$left{egin{matrix} 6x &-4y &-z &=1 \ -x& +6y &-4z & = 0 \ 4x& +y & -6x & = 0 end{matrix} ight.$

Resolvendo, obtemos que $oxed {x = frac{32}{79}}$

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