Questão 10

IME 2015

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH em função de a, a medida da aresta do cubo.

Gabarito:

Resolução:

O plano formado por B'C'F'G' é paralelo ao plano BCFG e passa por V. Ainda, o plano ABH contém o ponto G e corta o cone formando uma elipse (secção angulada)

Para resolver o exercício precisamos de algumas informações acerca dos ângulos. Primeiramente:

$tg alpha = frac{OC}{VO} = frac{1}{2}$

Assim, $sec^{2} alpha = frac{1}{cos^{2}alpha} = tg^{2}alpha + 1$

$frac{1}{cos ^{2}alpha} = frac{1}{4}+1$

$oxed {cos alpha = frac{2sqrt{5}}{5}}$

Ainda,

$eta = 45 ^{circ} Rightarrow cos eta = frac{sqrt{2}}{2}$

e, por fim: $frac{cos eta}{cosalpha} = frac{sqrt{10}}{4}$

Os triângulos hachurados em vermelho são semelhantes. Assim:

$Vg = frac{a}{2}$

$bg = asqrt{2}$

$frac{bC}{VG} = frac{bT}{TG}$

$frac{bT}{TG} = frac{a}{frac{a}{2}}$

$frac{bT}{bg - bT} = 2$

$frac{bT}{asqrt{2} - bT} = 2$

$bT = frac{2asqrt{2}}{3}$

Tendo em mente que a intersecção angular no cone forma uma elipse como secção, no eixo maior x da mesma escrevemos:

$frac{bT}{2} = frac{2asqrt{2}}{3} cdot frac{1}{2}$

$x = frac{asqrt{2}}{3} Rightarrow x^{2} = frac{2a^{2}}{9}$

No eixo menor y:

$y = frac{sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x} = frac{sqrt{10}}{4}$

$frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}} = frac{10}{16}$

$8x^{2} - 8y^{2} = 5x^{2}$

$x^{2} = frac{8}{3} y^{2}$

$frac{2a^{2}}{9} = frac{8}{3} y^{2}$

$y = frac{1}{2sqrt{3}} = frac{asqrt{3}}{6}$

Excentricidade e da elipse:

$frac{e}{x} = frac{sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x} = frac{cos eta}{cos alpha}$

$frac{e}{x} = frac{sqrt{10}}{4}$

Por fim, a área da elipse:

$S = xypi$

$S = frac{a^{2} cdot pisqrt{6} }{18}$

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