Questão 2

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Seja $B$ o conjunto de todos os valores de $x epsilon mathbb{R}$ para os quais a soma dos termos da progressão

$-frac{4}{3x},frac{16}{9x^2},-frac{64}{27x^3}, frac{256}{81x^4},...$

assume um valor finito. Define-se a função $f:B ightarrow mathbb{R}$ , para cada $x epsilon B$ , tal que

$f(x)=-frac{4}{3x}+frac{16}{9x^2}-frac{64}{27x^3}+frac{256}{81x^4}-...$

A soma das raízes da equação $f(x)=-x, x epsilon B$ , é:

-2

$-frac{4}{3}$

$frac{2}{3}$

$frac{4}{3}$

Gabarito:

-2

Resolução:

Primeiramente, nota-se que $x eq0$ , pois está no denominador dos termos da progressão apresentada. Em seguida, perceba que a razão entre um termo e o seu antecessor é constante e igual a $q$ , tal que:

$q = frac{frac{16}{9x^2}}{-frac{4}{3x}} = -frac{4}{3x}$

Logo, trata-se de uma progressão geométrica, PG, de razão $q=-frac{4}{3x}$ . É importante definir que para que seja possível realizar a soma dos termos de uma PG infinita, $|q| < 1$ , ou seja:

$|frac{-4}{3x}| < 1$

$frac{1}{|3x|} <frac{ 1}{4}$

$3x > 4$

$x > frac{4}{3}$

Ou:

$3x < -4$

$x < frac{-4}{3}$

Como queremos uma soma finita para uma PG infinita, temos que a soma, $S_{infty}$ , dos infinitos termos é dada por:

$S_{infty} = frac{a_1}{1-q} = frac{-frac{4}{3x}}{1-(frac{-4}{3x})}= -frac{4}{3x+4}$

Assim, temos que:

$f(x) = S_{infty} = -frac{4}{3x+4}$

Resolvendo a equação pedida, ficamos com:

$f(x) = -x Rightarrow -frac{4}{3x+4} = -x Rightarrow 4 = 3x^2+4x Rightarrow 3x^2+4x-4 = 0$

As raizes encontradas são $x=frac{2}{3}$ e $x=-2$ . Porém apenas $x=-2$ obedece a condição de existência dessa PG ( $|q| < 1$ ), assim é a única raiz possível.

Seja $S$ a soma das raízes possíveis dessa equação quadrática. Assim, temos que:

$S = -2$

$herefore oxed{S=-2}$

Alternativa correta é a letra B.

Questão 2

IME 2021

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