Questão 4

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Quantos pares ordenados (x, y) de números inteiros satisfazem a equação 1/x + 1/y = 1/23?

Gabarito:

Resolução:

A primeira solução notavel é x = y, de forma que:

$frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{x}+frac{1}{x} Rightarrow frac{2}{x}=frac{1}{23}Rightarrow x=46$

Logo o primeiro par é (46, 46), para encontrar o restante:

$frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{23}$

$frac{x+y}{xy}=frac{1}{23}$

$23x+23y=xy$

$23x+23y-xy-23^2=-23^2$

$x(23-y)-23(23-y)=-23^2$

$(23-y)(x-23)=-23^2$

$(y-23)(x-23)=23^2$

Como 23 é um número primo, podemos limitar as seguintes possibilidades:

$23cdot 23, 1cdot 23^2, -1cdot -23^2.$

Para $1cdot 23^2$ ou $23^2 cdot 1$ temos $(24, 552)$ e $(552, 24)$ .

Para $-1cdot -23^2$ ou $-23^2 cdot -1$ , temos $(22, -506)$ e $(-506, 22).$

Lembrando que x e y não podem ser 0, pela condição de existência da equação original.
Logo, temos 5 pares possíveis.

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