Questão 12

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022) Para cada número n natural, seja a função real $f_{n}(x)$ definida para cada $xin;mathbb{R}$ , tal que $x eq(k+a)frac{pi}{2},forall kinmathbb{Z}$ ,de forma que:

$f_{n}(x)=frac{[tg(x)]^n+1}{n[sec(x)]^n}$

A função g(x) que atende $g(x)=f_{6}(x)-f_{4}(x)+frac{1}{3}$ é

$cos(x)+3$

$frac{1}{4}$

$sen(x)-2$

$1/12$

$tg(x)-frac{1}{3}$

Gabarito:

$frac{1}{4}$

Resolução:

Método rápido:
$f_{n}(x)=frac{[tg(x)^n+1]}{n[sec(x)]^n}=frac{[sen(x)]^n+[cos(x)]^n}{n}$

$x=frac{pi}{4} ightarrow tg(frac{pi}{4})=1$ e $sec(frac{pi}{4})=sqrt{2}$

$f_{n}(frac{pi}{4})=frac{1+1}{nsqrt{2}^n}=frac{2}{n2^{frac{n}{2}}}$

$g(frac{pi}{4})=f_{6}(frac{pi}{4})-f_{4}(frac{pi}{4})+frac{1}{3}=frac{2}{6cdot2^{3}}-frac{2}{4cdot2^{2}}+frac{1}{3}=frac{1}{4}$

Método elegante:
$f_{n}(x)=frac{[tg(x)]^n+1}{n[sec(x)]^n}=frac{sen^6(x)+cos^6(x)}{6}=frac{(sec^4(x)+cos^4(x)-sen^2(x)cos^2(x)}{6}$
$f_{n}(x)=frac{sen^4(x)+cos^4(x)}{4}=frac{(sen^2(x)+cos^2(x))^2-2cos^2(x)sen^2(x)}{4}=frac{1-2sen^2(x)cos^2(x)}{4}$

$g(x)=frac{1-2sen^2(x)cos^2(x)-sen^2(x)cos^2(x)}{6}-frac{(1-2sen^2(x)cos^2(x))}{4}+frac{1}{3}$

$g(x)=frac{2-6sen^2(x)cos^2(x)-3+6sen^2(x)cos^2(x)}{12}+frac{1}{3}=frac{1}{4}$

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