Questão 6

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Seja o número complexo $z=(1-2sqrt{2}i)^{12}$ . Sabe-se que $m=left | z ight |$ . O valor de $x$ na expressão $2x=log_{m}(27m)$ é:

$frac{15}{14}$

$frac{5}{14}$

$frac{5}{8}$

$frac{15}{4}$

$frac{3}{8}$

Gabarito:

$frac{5}{8}$

Resolução:

Vamos analisar primeiramente o número complexo $w$ , tal que:

$w=1-2sqrt{2}i$

$|w|=sqrt{1+8}=3$

$w=3cdot cis( heta)$ , em que $heta$ é o argumento de $w$

Assim temos que:

$z=w^{12}$

$z=3^{12}cdot cis(12 heta)$

$|z|=3^{12} cdot 1$

$m=3^{12}$

Substituindo na expressão que queremos:

$2x=log_m(27m)$

$2x=log_{3^{12}}(3^3cdot 3^{12})$

$2x=log_{3^{12}}( 3^{15})$

$2x=frac{15}{12}$

$x=frac{15}{24}$

$x=frac{5}{8}$

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