Questão 5

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Seja $alpha, epsilon, mathbb{R}$ e $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ números complexos tais que $left | z_1 ight |=left | z_2 ight |=left | z_3 ight |=4$ e $z_1 eq z_2$ . O menor valor de $left | alpha z_{1}-(alpha - 1)z_{2}-z_{3} ight |$ , é:

$frac{1}{8}left | z_{1}+z_{2} ight |$ .

$frac{1}{4}left | z_{1}-z_{2} ight |$ .

$frac{1}{8}left | z_{3}-z_{1} ight |left | z_{3}-z_{2} ight |$ .

$frac{1}{4}left | z_{1}-z_{2}-z_{3} ight |$ .

$left | z_{3} ight |$ .

Gabarito:

$frac{1}{8}left | z_{3}-z_{1} ight |left | z_{3}-z_{2} ight |$ .

Resolução:

$Z=alpha;Z_{1}+(1-alpha)Z_{2}$ com alpha real é uma reta passando pelos pontos $Z_{1}$ e $Z_{2}$ no plano complexo, $Z-Z_{2}=alpha(Z_{1}-Z_{2})$ , $Z_{1},Z_{2};e;Z_{3}$ são representados em uma circunferência de raio 4

Se chamarmos $Z=alpha;Z_{1}+(1-alpha)Z_{2}$ , temos

$left | alphacdot;Z_{1}-(alpha-1)cdot;Z_{2}-Z_{3} ight |=left | Z-Z_{3} ight |$

$left | Z-Z_{3} ight |_{min}=x$ , ou seja, a altura relativa ao lado $left | Z_{1}-Z_{2} ight |$ do $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$

Sabendo que a área do triângulo é dada por:

$S=frac{abc}{4R}$

$S=frac{left | Z_{1}-Z_{2} ight |left | Z_{1}-Z_{3} ight |left | Z_{2}-Z_{3} ight |}{4cdot4}=frac{xcdotleft | Z_{2}-Z_{1} ight |}{2}$

$x=frac{left | Z_{1}-Z_{3} ight |left | Z_{2}-Z_{3} ight |}{8}$

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